マルチフラクタル

フラクタル分布の一般化次元

Ｒⁿの有界な領域上で定義された測度 μ（ｘ）＞０（ｘ∈Ｘ⊂Ｒⁿ）を考えよう．ただし，μ（Ｘ）＝１とする．このとき，μのサポートＸそれ自体がフラクタル集合であっても構わない．Ｘを覆うサイズδのボックスの集合｛Ｂ_i｝上の測度を μ（Ｂ_i）と表記し，全てのボックスに渡る以下の総和を定義する．

\[Z_\delta(q)=\sum_i\mu(B_i)^q\]

(3-1)

μ（Ｂ_i）を状態Ｂ_iの占有確率と解釈し，ハミルトニアンをーlog Ｂ_iに，逆温度をqとみなすと，これは統計力学で言うところの分配関数に相当する．

このＺ_δ（ｑ）によって，分布のｑ次モーメントに関係したフラクタル次元

\[D(q)=-\frac{1}{1-q}\lim_{\delta\to0}\frac{\log Z_\delta(q)}{\log\delta}\]

(3-2)

が定義ができる．Ｄ（ｑ）はボックス次元(フラクタル次元)を一般化した次元であって，一般化次元(generalized dimension)と呼ばれている．

事実，Ｚ_δ（０）が集合Ｘを覆うために必要な箱の数に他ならないことに注意すると， lim_δ→０ - logＺ_δ(0)／logδ，すなわちＤ（０）はμのサポートのボックス次元を与える．

また，Ｄ（１）は，ｑ→１の極限を取ることによって

\[D(1)=\lim_{q\to1}D(q)=\lim_{\delta\to0}\frac{\sum_i\mu(B_i)\log\mu(B_i)}{\log\delta}\]

(3-3)

と書け，確率分布の平均情報量のスケーリングに関係した次元であることから，特に情報量次元(information dimension)と呼ばれている．

自己相似図形ではＤ（ｑ）がｑに依らず一定となるが， μがさらに複雑な構造を持つ場合にはＤ（ｑ）がｑに依存する．このようなμはマルチフラクタル(multi-fractal)と呼ばれ，Ｄ（ｑ）はｑの単調減少関数となる．

ｆーαスペクトル

マルチフラクタルな集合は，以下で述べるように，異なるフラクタル次元が分布しているような集合とみなすことができる．まず，測度の局所的な特異性を表わす指標として０＜α＜∞であるような指数αを導入する．ここで，ボックスのサイズδ=｜Ｂ_i｜について局所的なスケーリング

\[\mu(B_i)\sim\delta^\alpha\]

(3-4)

が成立し，指数αを持つようなボックスの数もまた δに対してＮ_δ（α）〜δ^-f(α) でスケールするものと仮定する．すなわち，αで特徴付けられるようなＸの部分集合のフラクタル次元がｆ（α）である．このとき分配関数Ｚ_δ（ｑ），積分変数を変換して

\[Z_\delta(q)=\int_0^\infty\delta^{q\alpha}N_\delta(\alpha)\,d\alpha=\int_0^\infty\delta^{q\alpha-f(\alpha)}\,d\alpha\]

(3-5)

と書ける．

δ→０では，この積分の値は指数部分が最大となるようなα での寄与が支配的になると考えられるため，

\[\tau(q)=\sup_{0\leq\alpha<\infty}\{f(\alpha)-q\alpha\}\]

(3-6)

でτ（ｑ）を定義すると，

\[Z_\delta(q)\simeq\delta^{-\tau(q)}\]

(3-7)

これを一般化次元の定義式(\ref{eq:generalized-dimension})と見比べることによって

\[\tau(q)=(1-q)D(q)\]

(3-8)

が導かれる．

ここで，ｆ,αの微分可能性と，ｆ（α）が αの凸関数であることを仮定する．ｆ（α）ーｑαが極大となる条件から

\[\frac{d}{d\alpha}(f(\alpha)-q\alpha)=0\]

(3-9)

これより

\[q=\frac{df(\alpha)}{d\alpha}\]

(3-10)

が言える．すなわち，ｆ（α）の勾配はモーメントｑを与える．

また，τ（ｑ）＝ｆ（α(q)）ーｑα(q)をｑで微分して

\[\frac{d\tau}{dq}=\frac{df}{d\alpha}\frac{d\alpha}{dq}-\alpha-q\frac{d\alpha}{dq}\]

これに(3-10)式を代入すると

\[\frac{d\tau(q)}{dq}=-\alpha(q)\]

(3-11)

が得られる．

これらの一連の変換は分配関数Ｚ（ｑ）から，ヘルムホルツの自由エネルギー τ（ｑ）を求め，ルジャンドル変換によって内部エネルギーαとエントロピーｆに変数変換する統計力学の手続きそのものである．一般に分布(測度)の局所的なスケーリング関係(3-4) から出発してｆ（α）を求めるのは困難であるので， τ（ｑ）を経て上記の手順によってｆ（α(q)）を求めることが多い．

ｆのα依存性はｆーαスペクトルと呼ばれており，カオスアトラクタの構造のような複雑な確率分布を特徴付ける際に使われる．ｆーαスペクトルの一般的特徴を以下にまとめる(図を参照).

q=0で最大値を取るような上に凸の曲線であって，D(0) = f(α(0)).
q=1で直線f(α) = αに接し，D(1) = f(α(1)) = α(1).
lim_q→ー∞ D(q)はαの上限を， lim_q→∞ D(q)はαの下限をそれぞれ与える．

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