自己アフィンフラクタル

自己相似と自己アフィン

前節では暗黙のうちに対象を等方的なフラクタルに限定していた．フラクタル図形は等方的なスケール変換によって部分が全体と一致する性質を有する．これに対してアフィン変換によって部分が全体に一致するような図形を自己アフィンと呼び，あらゆるスケールで自己アフィンである図形を自己アフィンフラクタル(self-affine fractal)と呼ぶ．

複雑な形状の山の稜線をはるか遠方から眺めた場合に，山の起伏は比較的なだらかに見えるが，近づくにつれて急な斜面や崖が目立ち始める．すなわち，横方向と上下方向でスケールの拡大率を変えることによって，初めて相似性が見いだされる．事実，いくつかの山地では，稜線が自己アフィンフラクタルでよく表現されることが報告されている．自己アフィンは，複雑な時系列や表面の形状を特徴付ける際に使われる一方で，自己相似なフラクタルとしばしば混同されることがあるので注意が必要である．

複数のアフィン変換を組み合わせた縮小写像を用いると，自己アフィンフラクタルを簡単な規則で生成することができる．Ｒⁿの部分集合ＤからＤへの写像Ｓを考えよう．Ｓによって集合上の二点間の距離が常に縮小される，すなわち｜Ｓ（ｘ）ーＳ（ｙ）｜≦｜ｘーｙ｜を満たす０＜ｃ＜１が存在するとき，Ｓを縮小写像という．ｍ種類の縮小写像Ｓ₁,…,Ｓ_mの組を与えると，

\[F=\bigcup_{i=1}^m S_i(F)\]

(2-1)

を満たすような集合Ｆ∈Ｄが存在し，このような変換に対して不変なＦは，多くの場合，自己アフィンフラクタルまたは自己相似となる．

Ｓ_i（Ｆ）が互いに重なり合わず，Ｓ_iのそれぞれが等方的な縮小写像であるとき，すなわち

\[\lvert S_i(x)-S_i(y)\rvert=c_i\lvert x-y\rvert\]

を満足するようなＣ_iが存在するときには，不変集合Ｆは自己相似なフラクタルとなる．

そのとき

\[\sum_{i=1}^m c_i^s=1\]

を満たすようなｓが存在し，そのｓは集合のフラクタル次元に一致する(Ｄ_H＝Ｄ_B＝ｓ)．しかしながら，縮小率が方向に依存するような場合には単一のフラクタル次元でその集合を特徴付けることはもはやできない (事実，自己アフィンフラクタルのハウスドフル次元とボックス次元は一般に一致しない)．この方法で得られる自己アフィンフラクタルの例として，4種類のアフィン変換を組み合わせた写像の不変集合を図に示した．このように複数の縮小写像を組み合わせて自己アフィンな点集合を得る方法は，画像の自動生成や画像圧縮などに応用されている．

自己アフィンなグラフと曲面

実際の応用にしばしば登場する自己アフィンフラクタルはグラフ(自己アフィン曲線)ないし自己アフィン曲面である．ワイアシュトラス(Weierstrass)は，１＜ｓ＜２および λ＞１であるような二つのパラメータを持つ関数

\[f(t)=\sum_{k=1}^\infty\lambda^{(s-2)k}\sin(\lambda^k t)\]

(2-2)

を考案し，ｆ（ｔ）が連続ではあるがいたるところ微分不可能であることを見いだした(図)．この種の関数はｔ軸方向とそれに直交するような特徴的な軸を持つような自己アフィンなグラフと見ることができる． Weierstrass function

ｆ（ｔ）が自己アフィンである場合に，それを特徴付ける指標として荒さ指数 (roughness exponent)またはハースト指数(Hurst exponent)が歴史的に用いられている．ある「時間」間隔δの間のｆ（ｔ）の平均二乗偏差を

\[h_\delta^2=\left\langle\lvert f(t_1)-f(t_2)\rvert^2\right\rangle_{\lvert t_1-t_2\rvert=\delta}\]

(2-3)

で定義する．自己アフィン曲線では

\[h_\delta^2\sim\delta^{2H}\]

(2-4)

なるスケーリング関係が得られ，その指数Ｈは荒さ指数，あるいはハースト指数と呼ばれている．幾何学的な形状を議論する場合には前者が，時間変化については後者の呼称がよく使われるようである．

幾何学的な自己アフィン曲線の生成方法として，図で示すように，箱の黒い部分に全体を再帰的にはめ込んでいく規則を与えてみよう．

このとき，黒く塗られた部分が互いに隣接しグラフの連結性が保持されるように，部分的に上下を反転させながら手続きを繰り返すことにより自己アフィンなグラフを生成できる．このグラフと水平直線との交差は自己相似なフラクタルになり，ボックスの大きさと水平方向の黒いボックスの数の関係から，フラクタル次元はＤ_h＝１／２であることがわかる．一方，垂直方向の線分との交差は一点であって，そのフラクタル次元はＤ_v＝０であることは自明である．グラフ(自己アフィン曲線)において，横方向を変数ｔに，縦方向をｔに対する変量ｆ（ｔ）と見做すと，このようにあいまいさなく軸を設定でき，縦方向の線分との交差のフラクタル次元は常にＤ_v であって，横方向のフラクタル次元は０＜Ｄ_h＜１である．また，この生成規則によれば，横方向と横方向のスケール変換率から，この例ではＨ＝１／２であることも容易に示せる．一般には，ハースト指数と，ｆ（ｔ）の横断面のフラクタル次元Ｄ_h とは

\[H=1-D_h\]

(2-5)

なる関係で結ばれることが知られている．

ハースト指数Ｈを持つ自己アフィン曲線について，フラクタル曲線の場合と同様にしてボックス次元を計算するとどうなるであろうか．時間間隔δの間のｆの平均的な変動幅はδ^Hであるから， δの時間間隔内で曲線が占める領域の大きさはδ^1+H程度となる．よってそれを覆うに必要なボックスの数は

\[\delta^{1+H}/\delta^2=\delta^{-1+H}\]

曲線全体では，１／δ個程度のボックスが必要となるから，サイズδボックスを使って曲線を覆うために必要な個数の見積もりとしてＮ_δ〜δ^-2+H が得られる．ボックス次元の定義から，よって，この曲線のボックス次元はＤ_B＝２ーＨである．２ーＨを自己アフィン曲線のフラクタル次元であると記述する場合があるが，ここで得られたＤ_Bは自己相似の意味でのフラクタル次元ではないことに注意されたい．

一次元ランダムウォークは自己アフィンなグラフのよい例である．一次元ランダムウォークの時刻ｔでの変位をｆ（ｔ）とすると，そのグラフを特徴付ける指数はそれぞれＨ＝Ｄ_h＝１／２である．このことはランダムウォークにおいて平均二乗移動距離が経過時間に比例すること，および再帰点の集合(f(t)=0であるようなtの点集合)のフラクタル次元が１／２であることに対応している．言い換えると，ブラウン運動過程はＨ＝１／２を与え，これは各時刻の増分が互いに独立(無相関)であることに関係する．これに対して，増分に長時間相関があり，ｆ（ｔ）が自己アフィンな曲線となる過程を非整数ブラウン運動(fractional Brownian motion: fBm)と呼ぶ． fBmではハースト指数は１／２以外の値を取る．時間相関のないガウス過程に従うランダムな増分をｄＢ（ｔ）で表記すると，確率積分

\[B_H(t)=\frac{1}{\Gamma(H+1/2)}\int_{-\infty}^t(t-t')^{H-1/2}\,dB(t')\]

(2-6)

によってハースト指数がＨであるようなブラウン運動Ｂ_H（ｔ）を生成することができる．ここで\(\Gamma(x)\)はガンマ関数である． (2-7)式は自己アフィン曲線をコンピュータで発生させるアルゴリズムの一つとしても知られている．上式からも明らかなように，Ｈ＞１／２であるような過程は，長時間の増分に正の相関がある場合に相当し，上昇の(下降の)「トレンド」が一旦生じるとそれが持続する確率が高い．これに対してＨ＜１／２ではトレンドは形成されにくい．

二変数関数ｆ（ｘ,ｙ）で表わされる自己アフィン曲面でも，二点間の距離に対する高さの二乗変位の関係からハースト指数Ｈを同様に定義できる．このような曲面の等高線はフラクタルであって，そのフラクタル次元をＤ_hとすると

\[H=2-D_h\]

(2-7)

一般に\(m\)変数関数で表現される自己アフィン曲面の等高線のフラクタル次元とハースト指数の関係は

\[H=m-D_h\]

(2-8)

である．

ハースト指数の計測

非定常で複雑な時系列を特徴付けたり，複雑な物体表面の形状を表わす際にはしばしばハースト指数が用いられる．以下に，ハースト指数の実際的な測定方法を三種類挙げた．

ハースト指数をその定義式に従って計算するのが自然な方法ではあるが，ある区間での変化量の別の見積もり方として，ある長さδの区間内での変化の最大値Ｒ（δ）＝ｍａｘ_{|t0 - t1| < δ} ｜f(t₁)-f(t₀)｜を計算し，関係Ｒ（δ）〜δ^HからＨを求める方法も使われている．
ハースト指数がＨの自己アフィンなグラフｆ（ｔ）ではｆ（λｔ）＝λ^Hｆ（ｔ）が成り立つ．ｆ（ｔ）の０＜ｔ＜Ｔ区間に渡るフーリエ変換
\[F(\omega,T)=\int_0^T f(t)e^{-i\omega t}\,dt=\int_0^T\lambda^{-H}f(\lambda t)e^{-i\omega t}\,dt\]
からパワースペクトルＳ（ω）＝｜Ｆ（ω,Ｔ）｜²／Ｔを見積もることによって，ｆ（ｔ）のパワースペクトル密度は
\[S(\omega)\sim\omega^{-(2H+1)}\]
(2-9)
なるべき乗則に従うことが示せる．よってパワースペクトルの周波数依存性からハースト指数を推定することができる．
地形のように，等高線のデータが得られる場合には，等高線のフラクタル次元Ｄをボックスカウント法などによって測定することにより，ハースト指数が関係式Ｈ＝ｍーＤで求められる．ｍは等高線が埋め込まれている次元．
この方法と関連して，ブラウン運動の回帰確率からＨを推定することもできる．ｔ₀以降にｆ（ｔ₀＋δ）＝ｆ（ｔ₀）が初めて実現される確率をｐ（δ）とすると，
\[p(\delta)\sim\delta^{H-1}\]
(2-10)
が成り立つ．そこで，ｐ（δ）の両対数プロットの勾配からＨを求めることができる．

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